Ергодичний пiдхiд до дослiдження сингулярних ймовiрнiсних мiр

Abstract

У роботi розвиваються загальнi методи доведення сингулярностi та абсолютної неперервностi (вiдносно мiри Лебега) ймовiрнiсних мiр, якi є нелiнiйними проекцiями продакт–мiр. Вводиться в розгляд та дослiджується клас ймовiрнiсних мiр з незалежними G–символами. Отриманi результати застосовуються для встановлення лебегiвської структури згорток Бернуллi з певних класiв. У роботi також розвиваються методи фрактального аналiзу сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр. Значну увагу придiлено розвитку ергодичної теорiї символьних динамiчних систем та її застосуванню до вивчення мультифрактальних властивостей розподiлiв з незалежними Q–символами та розподiлiв, породжених випадковими ланцюговими дробами. Доведено, що мiри з двох вищевказаних класiв є мiрами внутрiшньо точної розмiрностi Хаусдорфа i обчислено точнi значення вiдповiдних розмiрностей.

We develop general methods for proving of singularity resp. absolute continuity (w.r.t. Lebesgue measure) of probability measures, which are non–linear projections of product–measures. A class of probability measures with independent G–symbols is introduced and studied. We apply the results to study the Lebesgue structure of Bernoulli convolutions from special classes. We also develop methods of fractal analysis of singularly continuous probability measures. A special attention is paid to the development of ergodic theory of symbolic dynamical systems and its applications to the investigation of multifractal properties of probability distributions with independent Q–symbols and probability distributions generated by random continued fractions. We prove that measures from the above mentioned two classes are measures of internally exact Hausdorff dimension. Sharp values of the corresponding dimensions are also calculated.