Властивостi розподiлiв випадкових величин та динамiчних систем, пов’язаних з рядами Остроградського першого виду

Abstract

В роботi розглядаються властивостi випадкової величини η, що є сумою ряду Остроградського, рiзницi елементiв якого є незалежними однаково розподiленими випадковими величинами. Знайдено необхiднi та достатнi умови дискретностi та сингулярної неперервностi розподiлу η. Доведено, що η не може мати абсолютно неперервного розподiлу. В статтi також розвивається ергодична теорiя представлень чисел за допомогою рядiв Остроградського. Доведено, зокрема, що для майже всiх (в смислi мiри Лебега) дiйсних чисел з одиничного вiдрiзка частоти всiх цифр рiзницевого представлення Остроградського iснують i дорiвнюють нулю. Ми також вивчаємо властивостi динамiчної системи, породженої перетворенням T одностороннього зсуву по рiзницевому представленню Остроградського. Показано, що не iснує ймовiрнiсних мiр, якi були б iнварiантними i ергодичними вiдносно T, та абсолютно неперервними вiдносно мiри Лебега.

We study properties of the random variable η with independent identically distributed differences of the Ostrogradsky-Pierce expansion. Necessary and sufficient conditions for η to be discrete resp. singularly continuous are found. We prove that η can not be absolutely continuously distributed. Ergodic theory of the Ostrogradsky-Pierce expansions is also developed. In particular, it is proven that for Lebesgue almost all real numbers from the unit interval the asymptotic frequency of any symbol of the differenceversion of the Ostrogradsky-Pierce expansion is equal to zero. Properties of a symbolic dynamical system generated by a shift-transformation T on the difference-version of the Ostrogradsky-Pierce expansion are also studied. It is shown that there are no probability measures which are invariant and ergodic (w.r.t. T) and absolutely continuous (w.r.t.Lebesgue measure).