Тополого-метричнi i фрактальнi властивостi множини дiйсних чисел з заданим середнiм значенням цифр четвiркового зображення, коли їх частоти iснують

Abstract

У роботi описано властивостi функцiї y = r(x) = lim n→∞середнього значення четвiркових цифр дробової частини дiйсного числа x, зокрема властивостi множини її рiвнiв Sθ = {x : r(x) = θ, θ = const, 0 6 θ 6 3} , при умовi iснування частот усiх четвiркових цифр. Вказано алгоритм побудови точки множини Sθ, доведено її континуальнiсть, всюди щiльнiсть. Знайдено умови нуль-мiрностi та повноти мiри Лебега, отримано оцiнки розмiрностi Хаусдорфа–Безиковича.

We describe some properties of function y = r(x) = lim nof 4-adic digits asymptotic mean of fractional part of real number x, particularly prop-erties of it’s level sets Sθ = {x : r(x) = θ, θ = const, 0 6 θ 6 3} , upon condition of ex-istence of all 4-adic digits frequencies. We specified an algorithm of constructing point from the set Sθ, and proved contin-uality and every where density of the set. We found conditions of zero and full Lebesgue measure and estimates of Hausdorff–Besicovitch dimension.