Геометрiя дiйсних чисел у їх кодуваннях засобами нескiнченного алфавiту як основа топологiчних, метричних, фрактальних i ймовiрнiсних теорiй

Abstract

Вводиться нескiнченно-символьне кодування (2∞-зображення) дiйсних чисел x ∈ (0; 1] з алфавiтом {1, 2, . . . , n, . . .} i основою 2: x = ∑_(k=1)^∞ 2a1+a2+...+ak ≡ ∆2 a1a2...ak..., де (ak) послiдовнiсть натуральних чисел, яке має нульову надлишковiсть (кожне число має єдине зображення). Вказується його зв’язок з класичним двiйковим зображенням, доводиться критерiй рацiональностi числа, описується його геометрiя, закладаються основи метричної, фрактальної та ймовiрнiсної теорiй. Дане зображення використовується для моделювання та дослiдження рiзних математичних об’єктiв зi складною локальною структурою i фрактальними властивостями.

The infinite-symbol encoding (2∞-expansion) for real numbers x ∈ (0; 1] with alphabet {1, 2, . . . , n, . . .} and base 2 is introduced: x = ∑_(k=1)^∞ 2a1+a2+...+ak ≡ ∆2 a1a2...ak..., where (ak) is a sequence of positive integers. It has a zero redundancy (any number has a unique expansion). The relation to classic binary expansion is proposed, the criterion of rationality of number is proved, its geometry is described, the foundations of metric, fractal and probabilistic theories are laid. We use this expansion to modeling and study of various mathematical objects with complicated local structure and fractal properties.