Группы, в которых нормальные замыкания циклических подгрупп имеют ограниченные конечные ранги Хирша–Зайцева

Abstract

В статье изучаются обобщенно разрешимые группы с ограничения-ми на нормальные замыкания циклических подгрупп. Будем говорить, что группа G имеет конечный ранг Хирша–Зайцева, если G имеет восходящий ряд, факторы которого либо бесконечные циклические, либо периодические и число бесконечных циклических факторов конечно. Нетрудно усмотреть, что число бесконечных цик-лических факторов в каждом из таких рядов будет инвариантом группы. Этот ин-вариант называется рангом Хирша–Зайцева группы G и обозначается через rhz(G). Изучаются группы, в которых нормальное замыкание каждой циклической под-группы имеет ранг Хирша–Зайцева, не превосходящий b (b – некоторое натуральное число). При наличии некоторых естественных ограничений найдена такая функция k1(b), что rhz([G/T or(G), G/T or(G)]) ≤ k1(b).

In this paper we study generalized soluble groups with restriction on normal closures of cyclic subgroups. We say that a group G is said to have finite Hirsch–Zaitsev rank if G has an ascending series whose factors are either infinite cyclic or periodic and if the number of infinite cyclic factors are finite. It is not hard to see that the number of infinite cyclic factors is every of such series is an invariant of a group G. This invariant is called the Hirsch–Zaitsev rank of G and will denoted by rhz(G). We study the groups, in which normal closure of every cyclic subgroup has the Hirsch–Zaitsev rank at most b (b is some positive integer). For some natural restriction we find the function k1(b) such that rhz([G/T or(G), G/T or(G)]) ≤ k1(b).