Властивості розподілів випадкових величин з марківськими Q-символами

Abstract

Робота присвячена дослідженню лебегівської структури розподілів випадкових величин з марківськими Q-символами. Основний результат статті дає загальні необхідні і достатні умови абсолютної неперервності та сингулярності розподілів випадкових величин з марківськими Q-символами. Доведено, що випадкові величини з марківськими Q2-символами мають чисті типи розподілів; знайдено необхідні і достатні умови належності до кожного з них. Показано, що при s > 2 випадкові величини з марківськими Q2-символами можуть бути або чисто абсолютно неперервними, або чисто сингулярними. У випадку сингулярності розподіл може бути або чисто дискретний, або чисто сингулярно неперервний, або бути їх сумішшю. Запропонований у роботі підхід також може бути використаним при дослідженні лебегівської структури розподілів випадкових величин з марківськими Q∞-символами.

The paper is devoted to the study of Lebesgue structure of distributions of random variables with markovian Q-symbols. The main results gives general necessary and sufficient conditions for absolute continuity resp. singularity of distributions of random variables with markovian Qs-symbols. We proved that random variables with markovian Q2-symbols are of pure Lebesgue type. Corresponding necessary and sufficient conditions are found. We also show that for s > 2 the random variables with markovian Qs-symbols have either pure absolute continuous distributions or pure singular distributions. In the case of singularity all following situations are possible: discrete case, singularly continuous case, mixture of discreteness and singular continuity. Our approach is also applicable for the study of Lebesgue structure of distributions of random variables with markovian Q∞-symbols.