Про нескінченні згортки Бернуллі, що породжені двійково-лакунарними послідовностями

Abstract

У роботі досліджуються властивості множини двійково-лакунарних дійсних чисел одиничного відрізка, тобто множини тих чисел, у яких двійкові символи мають наступну властивість: Доводиться, зокрема, що майже всі (в сенсі міри Лебега) дійсні числа є двійково-лакунарними. Для кожного двійково-лакунарного числа а розглядається випадкова величина де послідовність породжується вибраним числом, є незалежними випадковими величинами, що набувають значень 0 та 1 з ймовірностями рок та рік відповідно. Доведено, що для довільного двійково-лакунарного числа а породжена випадкова величина є суттєво нерайхмановою

The paper is devoted to the study of infinite Bernoulli convolutions generated by the set of binary lacunary real numbers. Let be a sequence of independent random variables taking the values -1 and 1 with probabilities p0k and p1k respectively, let be a sequence of real numbers such that converges. Then the distribution function of random variable is said to be the infinite Bernoulli convolution. A real number a is said to be binary lacunary, if its binary symbols have the following property We prove that the set (lacunary sequence) of binary-lacunary real numbers is of full Lebesgue measure. We also study asymptotics of the Fourier-Stiltjes transform of Bernoulli convolutions generated by the set of binary-lacunary real numbers and prove that