Лебегівська структура одного класу нескінченних згорток Бернуллі з суттєвими перекриттями. I.

Abstract

Робота присвячена дослідженню властивостей нескінченних симетричних згорток Бернуллі, тобто розподілів випадкових величин, де незалежні випадкові величини, що набувають значень 0 та 1 з імовірністю 1/2, а збіжний знакододатний ряд задовольняє умовам: існує послідовність натуральних чисел, така, що і при цьому причому. В роботі повністю досліджено лебегівську структуру одного сімейства таких розподілів та виявлено нові феномени. Початкова задача фрактального аналізу сингулярно неперервних ймовірнісних мір полягає в обчисленні розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектра. В роботі [21] наведено формулу для обчислення розмірності спектра (для симетричного випадку спектр випадкової величини співпадає з множиною неповних сум ряду) симетричної згортки Бернуллі, що задовольняє умовам (1) та (2), де. У даній роботі ми конструюємо спеціальний підклас нескінченних згорток Бернуллі, що задовольняє умовам (1) та (2), і досліджуємо фрактальні властивості спектра. З отриманих результатів випливає, зокрема, що формула (7) є, взагалі кажучи, неправильною. Отримані результати підкреслюють важливість досліджень, присвячених проблемам довірчості-недовірчості локально тонких систем покриттів.

The paper is devoted to the study of fractal properties of infinite symmetric Bernoulli convolutions, i.e., distributions of random variables, where are independent random variables taking values 0 and 1 with probabilities 1/2 and a convergent positive series ak satisfies the following conditions: there exists a sequence of positive integers {mk} such that mk+1 — mk > 3 and with. The Lebesgue structure of a family of such distributions is studied in details and new phenomena are observed. The determination of the Hausdorff-Besicovitch dimension of the spectrum S is the initial step in the fractal analysis of singularly continuous probability measures. In [21] one can find the following formulae for the determination of the dimension of the spectrum (for the symmetric case the spectrum of the random variable coincides with the set of incomplete sums of the series) of symmetric Bernoulli convolution satisfying conditions (1) and (2) where. In this paper we construct a special subclass of infinite Bernoulli convolutions satisfying conditions (1) and (2), and study fractal properties of corresponding spectra. From the obtained results it follows, in particular, that the formulae (7) is, generally speaking, not true. The obtained results stress the importance of researches devoted to problems of faithfulness resp. non-faithfulness of Vitaly coverings.