Про один клас сингулярних розподілів, породжених підсімейством двійково-лакунарних послідовностей

Abstract

Робота присвячена вивченню нескінченних згорток Бернуллі, породжених спеціальним підкласом множини двійково лакунарних дійсних чисел. Досліджується асимптотика перетворення Фур’є-Стілт’єса відповідних згорток Бернуллі і доводиться, що у випадку неперервності для кожного значення параметра а з досліджуваної континуальної ніде не щільної множини, модуль характеристичної функції породженої випадкової величини має максимальну асимптотичну амплітуду.

The paper is devoted to the study of infinite Bernoulli convolutions generated by a special subclass of the set of binary lacunary real numbers. Let be a sequence of independent random variables taking values -1 and 1 with probabilities p0k and p1k respectively, let {ak} be a sequence of real number such that the series of ak converges absolutely. Then the distribution function of the random variable is said to be the infinite Bernoulli convolution. There are a lot of research papers devoted to the study of this object ( see, e.g., [13] and references therein). For the case, where the condition ak > rk holds for all sufficiently large k, fine fractal analysis of such probability measures has been done in [5]. At the same time, even for the case of hyperexponential convergent series of ak conditions for the probability measure to be a Reichman measure are still unknown. Let be the set, which is obtained from by deleting of a countable set of points having zeros in periods. We study asymptotics of the Fourier-Stiltjes transform of the corresponding Bernoulli convolutions and prove that in the case of continuity for any parameter from the considered nowhere dense set of continuum cardinality, the modulus of the characteristic function of generated random variables has the maximal asymptotic amplitude.