Фрактальні властивості спектрів випадкових величин з незалежними однаково розподіленими GLS-символами

Abstract

У роботі закладено основи метричної та розмірнісної теорії GLS-розкладів дійсних чисел. Описано феномени, які відрізняють дані розклади від Q∞-розкладів та розкладів Люрота і які дозволяють будувати сингулярні ймовірнісні розподіли всіх спектральних типів. У даній роботі також запропоновано новий підхід до дослідження фрактальних властивостей спектрів випадкових величини з незалежними однаково розподіленими GLS-символами. Метод полягає в тому, що розглядається відображення і досліджуються умови, при яких воно зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича на одиничному відрізку. Для дослідження DP-властивостей перетворення, розглядається питання довірчості сімейств циліндрів для Q∞ і GLS-розкладів дійсних чисел.

In this paper we develop metric, dimensional and probabilistic theories of generalized Luroth expansions. In the introduction we remind main notions related to such expansions and study topological properties of the set of those real numbers which do not belong to any cylinder of the first rank. We show, in particular, that this set can be of continuum cardinality. One of the main problems studied in the paper is the determination of fractal properties of spectra of random variables with independent identically distributed GLS-symbols, i.e., random variables of the form. To this end we study fractal properties of the set. To find the Hausdorff-Besicovitch dimension of such a set we develop a new approach and show that transformation preserves the Hausdorff-Besicovitch dimension of the set. We also show that the Hausdorff-Besicovitch dimension of the spectrum of the distribution of the random variable p with independent identically distributed GLS-symbols can be calculated.