Нормальні та квазінормальні ланцюгові дроби Данжуа

Abstract

У роботі досліджуються властивості множин дійсних чисел, заданих своїми ланцюгових розкладами Данжуа. Доведено, що довільного для дійсного числа a з [0, 1/2] існує x з [0,1] таке, що асимптотична частота v(x) цифри 0 в ланцюговому розкладі Данжуа числа x дорівнює a; обгрунтовано континуальність множин {x : v(x) = a}. Доведено також, що для майже всіх (в сенсі міри Лебега) дійсних чисел асимптотична частота цифри 0 у ланцюговому розкладі Данжуа дорівнює 1/2.

We study properties of subsets of real numbers defined via their canonical Denjoy’s continued fractions. We prove that for any real number a from [0, 1/2] there exists x from [0,1] such that the asymptotic frequency v(x) of the digit 0 in the canonical Denjoy’s continued fraction expansion of x is equal to a. Moreover, we show that the set {x : V(x) = a} is of continuum cardinality for any a from [0, 1/2]. In the paper it is also proven that for Lebesgue almost all real numbers x from the unit interval the asymptotic frequency of the digit 0 in the canonical Denjoy’s continued fraction expansion of x is equal to 1/2.