Про залежність фрактальних властивостей множини суттєво анормальних чисел від системи числення

Abstract

В роботі досліджується множина суттєво анормальних дійсних чисел відрізка [0,1], тобто множина дійсних чисел, в Q-розкладі яких жодна цифра не має частоти. Доводиться, що множина є суперфракталом, тобто множиною нульової міри Лебега, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої дорівнює 1. До 1994 року множина анормальних чисел вважалась «достатньо малою» як в смислі міри Лебега, так і в смислі розмірності Хаусдорфа-Безиковича. Після доведення суперфрактальності множин анормальних та суттєво анормальних чисел для s-адичного та деяких інших розкладів і конструювання таких систем числення, для яких множина суттєво анормальних чисел мала повну міру Лебега, домінуючою стала гіпотеза про те, що суперфрактальність (як і належність до другої категорії Бера) є інваріантною властивістю множини суттєво анормальних чисел і не залежить від вибору системи числення. В нашій роботі ця гіпотеза спростована. Показано, зокрема, що існують такі Q*-розклади дійсних чисел, для яких відповідна множина суттєво анормальних чисел має нульову розмірність Хаусдорфа-Безиковича.

The set of essentially non-normal numbers of the unit interval, i.e., the set of real numbers having no asymptotic frequencies of all digits in their Q-representation, is studied. It is proven that the set is a superfractal set, i.e., the Hausdorff-Besicovitch dimension of the set is equal to 1 and the Lebesgue measure of it is equal to 0. Till 1994 the set of non-normal numbers was considered as a ”rather small” one in the sense of Lebesgue measure as well as in the sense of the Hausdorff-Besicovitch dimension. After the proof of the superfractality of sets of non-normal and essentially non-normal numbers for s-adic and some other expansions and construction of such systems of representation for which the set of essentially non-normal numbers is of full Lebesgue measure, the conjecture about superfractality (as well as that it is of the second Baire category) is an invariant property of the set of essentially non-normal numbers became dominating and it doesn’t depend on a choice of a system of representation. In the paper we constructed a counterexample to the above mentioned conjecture. It is shown, in particular, that there are Q*-expansions of real numbers, for which the corresponding set of essentially non-normal numbers has zero Hausdorff-Besicovitch dimension.