Ергодичні властивості Q∞-зображень та фрактальні властивості ймовірнісних мір з незалежними Q∞-символами

Abstract

У роботі досліджуються ергодичні властивості Q∞-зображення дійсних чисел та властивості локально тонкої системи покриттів одиничного відрізка, що складається з циліндрів Q∞-зображення. Знайдено достатні умови фрактальності таких систем покриттів. Досліджено властивості розподілів випадкових величин з незалежними символами Q∞-зображення. Особлива увага приділена вивченню тонких фрактальних властивостей розподілів такого типу. У випадку однакової розподіленості доведено формулу для обчислення розмірності Хаусдорфа відповідної ймовірнісної міри.

We study ergodic properties of the Q∞-expansion of real numbers and properties of the corresponding fine covering system of the unit interval, consisting of cylinders of the Q∞-expansion. Sufficient conditions for the faithfulness of such covering systems are found. Properties of distributions with independent Q∞-symbols are also studied in details. A special attention ia paid to the fine fractal properties of the above entioned probability distributions. For the i.i.d-case an explicit formulae for the determination of the Hausdorff dimension of the corresponding probability measure is proven.