Оцінки розподілів супремумів випадкових процесів та рівномірна збіжність їх вейвлет розкладів

Abstract

У дисертації досліджуються оцінки для розподілів супремумів випадкових процесів X (t), t∈R , з просторів Орліча випадкових величин заданих на R . Побудовано такі функції c = {c(t), t∈R} , що з ймовірністю одиниця sup/t∈R(|X(t)|/c(t)) < ∞ та знайдено оцінки ймовірностей P{sup/t∈R(|X(t)|/c(t)) >x}. Отримані результати використовуються для знаходження умов рівномірної збіжності з ймовірністю одиниця вейвлет розкладів цих процесів. Знайдено умови за яких вейвлет розклади випадкових процесів з просторів Орліча збігаються рівномірно на обмеженому інтервалі з ймовірністю одиниця. Загальні теореми застосовуються до випадкових процесів з просторів Lp (Ω) та експоненціальних просторів Орліча. Досліджено також умову рівномірної збіжності, з ймовірністю одиниця, на обмеженому інтервалі вейвлет розкладів g - субгауссових випадкових процесів. Як наслідок отримано необхідні та достатні умови рівномірної збіжності вейвлет розкладів гауссових стаціонарних процесів

In this dissertation estimates for the distribution of the supremum of stochastic process X (t), t∈R from Orlicz space are investigated. We constructe the functions c = {c(t), t∈R}, such that up/t∈R(|X(t)|/c(t)) < ∞ with probability 1 and find the probability P{sup/t∈R(|X(t)|/c(t)) >x. Obtained results were applied to find conditions of uniform convergence with probability one of the wavelet expansions of random processes. Conditions under which wavelet expansions of random processes from the Orlicz space converge uniformly on the finite intervals are found. General theorems are applied to stochastic processes from the spaces Lp (Ω ) and exponential Orlicz spaces. Condition for uniform convergence of wavelet expansions of g - sub – Gaussian random processes with probability one on the finite intervals is investigated. As a corollary, the necessary and sufficient conditions for uniform convergence of wavelet expansions of stationary Gaussian processes are obtained.

Условия ограниченности с вероятностью единица супремумов случайных процессов и оценки их распределений интересовали многих выдающихся специалистов в областиттеории вероятностей. В частности этой тематике посвящена работа А. В. Скорохода об экспоненциальной интегрируемости супремума гауссового процесса. Подобными задачами для гауссовских процессов посвящены работы Р. Дадли и К. Ферника. Для более широких классов процессов, в частности для процессов из пространств Орлича случайных величин, такие задачи изучались в работах Н. Коно, Ю. В. Козаченко и др. В основном, подобные задачи изучались для случайных процессов заданных на компакте. Условия ограниченности нормированных процессов заданных на R и оценка распределения их супремумов изучались лишь для узких классов случайных процессов. В диссертации исследуются оценки для распределения супремумов случайных процессов X(t), t∈R из пространств Орлича случайных величин заданных на R . Построены такие функции c = {c(t), t∈R}, что с вероятностью единица sup/t∈R(|X(t)|/c(t)) < ∞ и найдены оценки вероятностей P{sup/t∈R(|X(t)|/c(t)) >x}. Найдены условия при которых вейвлет разложения случайных процессов из пространств Орлича случайных величин сходятся равномерно на ограниченном отрезке с вероятностью единица. Общие теоремы применяются к случайным процессам из пространств Lp (Ω ) и экспоненциальным пространствам Орлича. Исследовано также условие равномерной сходимости, с вероятностью единица, на ограниченном отрезке вейвлет разложений g - субгауссовых случайных процессов. Как следствие получены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости вейвлет разложений гауссовых стационарных процессов.