Метод математичного відкриття при вивченні числових послідовностей

Abstract

Запропоновано метод активації уваги учнів на заняттях з математики, зокрема при вивченні числової послідовності і її границі. Інтрига полягає в тому, що послідовності, прийняті в якості об’єктів нових означень і досліджень, складені за алгоритмом покрокового запису виразів тих середніх величин, на основі яких Піфагор зробив цікаве відкриття, назване тетрадою. Нескладний аналіз наведених прикладів дозволив зробити припущення про те, що числові послідовності середніх арифметичних і середніх гармонійних прагнуть до однієї і тій же границі, яка дорівнює середньому геометричному їх відповідних членів. На цьому припущенні сформульовано математичне відкриття, яке здатне зацікавити учнів своїм змістом і перспективою стати його співавторами. У творчій обстановці доказу прогнозованого відкриття викладені найважливіші поняття теорії границі послідовності. З метою забезпечення більш глибокого розуміння теми, процес наближення збіжної послідовності до своєї границі, її монотонність і обмеженість показані на рисунку у вигляді переміщення точок вздовж числової вісі. Зроблено висновок про перспективу застосування методу при поясненні диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Предложен метод активации внимания учащихся на занятиях по математике, в частности при изучении числовой последовательности и ее предела. Интрига состоит в том, что последовательности, принятые в качестве объектов новых определений и исследований, составлены по алгоритму пошаговой записи выражений тех средних величин, на основе которых Пифагор сделал интересное открытие, названное тетрадой. Несложный анализ приведенных примеров позволил сделать предположение о том что числовые последовательности средних арифметических и средних гармонических стремятся к одному и тому же пределу, равному среднему геометрическому их соответствующих членов. На этом предположении сформулировано математическое открытие, способное заинтересовать учащихся своим содержанием и перспективой стать его соавторами. В творческой обстановке доказательства прогнозируемого открытия изложены важнейшие понятия теории предела последовательности. С целью обеспечения более глубокого понимания темы, процесс приближения сходящейся последовательности к своему пределу, ее монотонность и ограниченность показаны на рисунке виде перемещения точек вдоль числовой оси. Сделан вывод о перспективе применения метода при объяснении дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

The method to activate learners’ attention in maths classes is offered, in particular, while studying the numerical sequence and its limit. The plot consists in the idea that sequences accepted as objects of new definitions and research are set up by the algorithm of step-by-step recording of half value equations, which were used by Pythagoras to discover a tetrad. A simple analysis of the given examples let assume that the numerical sequences of arithmetic average and harmonic mean tend to reach the same limit being equal to geometric mean of their corresponding members. This assumption let formulate the mathematical finding which content and the perspective to become a co-author have raised the learners’ interest. The most important concepts of the theory of the sequential limit are formulated in a creative atmosphere during the process of proving predicted finding. To ensure indepth subject understanding, the process of approaching convergent sequence to the limit, its monotony and limitation are shown in the diagram in the form of points moved along a numerical axis. The prospects of applying this method while presenting the differential equations of the second order with constant coefficients are concluded.