Про нові фрактальні феномени, пов’язані з розподілами випадкових величин з незалежними GLS-символами

Abstract

Робота присвячена дослідженню фрактальних властивостей ймовірнісних мір з незалежними GLS-символами. Продемонстровано нові фрактальні феномени, які відсутні у розподілів випадкових величин з незалежними символами розкладів Люрота, Q∞—розкладів, І—Q∞ — розкладів, але природнім чином виникають у розподілів випадкових величин з незалежними навіть однаково розподіленими GLS-символами.

У роботі досліджено фрактальну масивність множин, побудовано приклад розподілу випадкової величини з незележними однаково розподіленими GLS-символами, для якого рівняння має корінь, але цей корінь не співпадає з розмірністю Хаусдорфа-Безиковвича спектра розподілу випадкової величини. У роботі доведено формулу обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектра розподілу випадкової величини з незалежними однаково розподіленими GLS-символами при довільних стохастичних векторах (незалежно від скінченності/нескінченності їх ентропії та довірчості/недовірчості для обчислееня розмірності Хаусдопфа-Безиковича сімейства циліндрів відповідного GLS-розкладу) та довільного взаємного розташування циліндрів GLS-розкладу в циліндрах попереднього рангу.

The paper is devoted to the study of fractal properties of probability measures with independent GLS-symbols. We demonstrate new fractal phenomena which are impossible for distributions of random variables with independent symbols of Liiroth expansion, Q∞—expansions, I—Q∞— expansions, but they appeared rather naturally for distributions of random variables with independent and even identicallty distributed GLS-symbols. Fractal massivity of sets are studied in details. We also construct an example of the distibution of random variables with independent identically disstributed GLS-symbols such that the equation has a root on the unit interval, but this root does not coincide with the Hausdorff-Besicovitch dimension of the spectrum S% of the distribution of the random variable. A general formulae for the determination of the Hausdorff-Besicovitch dimension of the spectrum of the distribution of random variable t with independent identically distributed symbols are proven for arbitrary stochastic vectors (independently of finiteness resp. infiniteness of their entropies and independently of faithfulness resp. non-faithfulness for the determination of the Hausdorff-Besicovitch dimension of the family of cylinders of the corresponding GLS-expansion) and for any mutual placement of cylinders of GLS-expansion in cylinders of previous ranks.